【数学常识中什么是算术平均数和几何平均数】在数学中，算术平均数和几何平均数是两种常用的统计量，用于描述一组数值的集中趋势。它们在不同的应用场景中有各自的特点和用途。下面将对这两种平均数进行简要总结，并通过表格形式进行对比说明。
一、算术平均数
算术平均数是指将一组数值相加后，再除以这组数值的个数。它是最常见的一种平均数，适用于大多数数据集的平均值计算。
公式：
$$
\text{算术平均数} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
$$
其中，$x_1, x_2, ..., x_n$ 是一组数据，$n$ 是数据个数。
特点：
- 容易计算，适合大多数日常使用场景；
- 受极端值影响较大（即容易被极大或极小值拉高或拉低）；
- 适用于连续型数据或正态分布的数据。
二、几何平均数
几何平均数是指将一组正数相乘后，再开 $n$ 次方（$n$ 为数据个数）。它常用于计算增长率、比例变化等场景。
公式：
$$
\text{几何平均数} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}
$$
其中，$x_1, x_2, ..., x_n$ 是一组正数，$n$ 是数据个数。
特点：
- 不受极端值的影响，但对小数值更敏感；
- 适用于比率、增长率、指数变化等场景；
- 不能包含零或负数（因为无法开偶次方）。
三、对比总结
| 特性 | 算术平均数 | 几何平均数 |
| 定义 | 所有数值之和除以数量 | 所有数值乘积的 $n$ 次方根 |
| 公式 | $\frac{\sum x_i}{n}$ | $\sqrt[n]{\prod x_i}$ |
| 适用范围 | 一般数值、连续数据 | 增长率、比例、指数变化 |
| 是否受极端值影响 | 是 | 否（相对而言） |
| 数据要求 | 可含任意实数 | 必须为正数 |
| 计算复杂度 | 简单 | 相对复杂（需乘法与开方） |
四、应用举例
- 算术平均数：某班学生数学考试成绩分别为80、85、90、75，算术平均数为 $(80+85+90+75)/4 = 82.5$。
- 几何平均数：某公司三年的年增长率分别为10%、20%、30%，则几何平均增长率为 $\sqrt[3]{1.1 \times 1.2 \times 1.3} \approx 1.199$，即约19.9%。
五、结语
算术平均数和几何平均数各有其适用的场景，理解它们的区别有助于在实际问题中做出更准确的分析和判断。在处理不同类型的数值时，选择合适的平均数方式是非常重要的。