【韦达定理的6个变式】韦达定理是初中数学中一个非常重要的定理，它揭示了一元二次方程根与系数之间的关系。在实际应用中，为了更灵活地处理问题，我们常常会用到韦达定理的一些变式。以下是韦达定理的6个常见变式，帮助我们在解题时更加高效、准确。
一、基本概念回顾
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（其中 $ a \neq 0 $），设其两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则根据韦达定理有：
- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
- 根的积：$ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $
这些基本关系是所有变式的出发点。
二、6个常用变式总结
| 变式编号 | 公式表达 | 应用场景 | 说明 |
| 1 | $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $ | 求根的平方和 | 利用根的和与积来计算 |
| 2 | $ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) $ | 求根的立方和 | 适用于高次幂的计算 |
| 3 | $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $ | 求倒数之和 | 当根不为零时使用 |
| 4 | $ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} $ | 求分式比值之和 | 常用于比例问题 |
| 5 | $ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 $ | 求两根差的平方 | 用于判断根的大小或判别式 |
| 6 | $ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2) $ | 求根的乘积与和的组合 | 用于因式分解或构造新方程 |
三、变式应用举例
例1：已知方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $、$ x_2 $，求 $ x_1^2 + x_2^2 $。
解：
由韦达定理得：
$ x_1 + x_2 = 5 $，$ x_1x_2 = 6 $
代入公式：
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13 $
例2：若方程 $ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $、$ x_2 $，求 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $。
解：
$ x_1 + x_2 = \frac{4}{2} = 2 $，$ x_1x_2 = \frac{1}{2} $
所以：
$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $
四、结语
韦达定理的六个变式在解决二次方程相关问题时非常实用，尤其在没有直接求出根的情况下，能够通过系数快速得到所需信息。掌握这些变式不仅有助于提高解题效率，还能加深对根与系数之间关系的理解。建议在学习过程中多加练习，灵活运用这些公式。