【复合函数的导数怎么求】在微积分中，复合函数的导数是通过“链式法则”来求解的。链式法则是求导过程中非常重要的一个规则，尤其在处理由多个函数嵌套而成的复杂函数时，显得尤为重要。掌握链式法则不仅有助于提高计算效率，还能帮助我们更深入地理解函数之间的关系。
一、什么是复合函数？
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。例如，若 $ f(x) = \sin(x^2) $，则可以看作是由外层函数 $ f(u) = \sin(u) $ 和内层函数 $ u = x^2 $ 组成的复合函数。
二、复合函数的导数——链式法则
链式法则的数学表达为：
$$
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
即：外层函数的导数乘以内层函数的导数。
三、求复合函数导数的步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定复合函数的外层函数和内层函数 |
| 2 | 对外层函数求导，保持内层函数不变 |
| 3 | 对内层函数求导 |
| 4 | 将两者的导数相乘，得到最终结果 |
四、示例分析
示例1：$ y = (3x + 2)^5 $
- 外层函数：$ f(u) = u^5 $
- 内层函数：$ u = 3x + 2 $
- 外层导数：$ f'(u) = 5u^4 $
- 内层导数：$ u' = 3 $
- 最终导数：$ y' = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4 $
示例2：$ y = e^{\sin(x)} $
- 外层函数：$ f(u) = e^u $
- 内层函数：$ u = \sin(x) $
- 外层导数：$ f'(u) = e^u $
- 内层导数：$ u' = \cos(x) $
- 最终导数：$ y' = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) $
五、注意事项
- 链式法则适用于任何可导的复合函数；
- 若有多个嵌套函数（如 $ f(g(h(x))) $），需逐层应用链式法则；
- 在实际计算中，注意变量替换和代入顺序，避免混淆。
六、常见错误与建议
| 常见错误 | 建议 |
| 忽略内层函数的导数 | 一定要对内层函数求导再相乘 |
| 混淆外层和内层函数 | 明确区分内外函数，先写外后写内 |
| 不进行变量替换 | 可以用中间变量辅助理解，如设 $ u = g(x) $ |
通过以上方法和步骤，我们可以系统地掌握如何求解复合函数的导数。链式法则不仅是微积分的基础工具之一，也是解决实际问题的重要手段。熟练运用这一法则，将大大提升我们的数学分析能力。